Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran. Diameter lingkaran adalah ruas garis yang panjangnya dua kali jari-jari lingkaran dan melalui pusat lingkaran.
Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0)
Jika titik P terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku OP = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik P(x , y) diperoleh:
Karena jarak antara O dan P adalah jari-jari lingkaran maka
Karena titik (x,y) adalah sembarang titik pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran berlaku x2 + y2 = r2 . Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah
Berikut contoh soal agar lebih memahami tentang cara menentukan persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0).
Contoh soal
Contoh soal
1.Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui pusatnya O(0, 0) dan berjari-jari 4.
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan r = 4 yaitu
x2 + y2= r2
x2 + y2= 42
x2 + y2= 16
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan r = 4 adalah
x2 + y2= 16
2. Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui pusatnya O(0, 0) dan melalui (9, –12).
Jawab:
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan melalui (9, –12) adalah
x2 + y2= 225
Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)
Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik B(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.
r = AB
r2 = (AB)2
r2= (xB – xA)2 + (yB – yA)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah
Contoh
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya (–3, 4) dan berjari-jari 7;
Jawab
Persamaan lingkaran:
(x – (–3))2 + (y – 4)2 = 72
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 49
x2 + 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 49
x2 + y2 + 6x – 8y + 25 = 49
x2 + y2 + 6x – 8y – 24 = 0
2. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya (7, 3) dan melalui (-2, 1);
Jawab:
Hitung jari-jarinya terlebih dahulu
Hitung jari-jarinya terlebih dahulu
Persamaan lingkarannya adalah
Bentuk umum persamaan lingkaran
Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:
(x – a)2 + (y – b)2 = r
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a2 + b2 – r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan
lingkaran:
dengan:
pusatnya (–A, –B)
jari-jari lingkaran
Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui
Contoh soal
Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran jika persamaan lingkaran tersebut
x2 + y2 +8x – 2y + 8 = 0
Jawab:
Pertama bandingkan bentuk persamaan lingkaran tersebut dengan bentuk umum persamaan lingkaran
x2 + y2 – 8x – 2y + 8 = 0
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Maka diperoleh:
2A = 8
A = 4
2B = –2
B = -1
C = 8
Ingat pusat lingkaran merupakan (–A,-B), maka pusat lingkarannya (-4, 1).
Sekarang menghitung jari-jari lingkaran,
Jadi, pusat lingkaran (-4, 1) dan jari-jari lingkaran = 3.
Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Posisi titik P(x1, y1) terhadap lingkaran dapat diketahui hanya dengan mengetahui jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran. Berdasarkan jarak titik ke pusat lingkaran, ada 3 kemungkinan posisi titik terhadap lingkaran.
1. Titik P(x1, y1) berada di dalam lingkaran jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran kurang dari jari-jari lingkaran.
2. Titik P(x1, y1) berada pada lingkaran jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran sama dengan jari-jari lingkaran.
3. Titik P(x1, y1) berada di luar lingkaran jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran lebih besar dari jari-jari lingkaran.
Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran x2+ y2 = r2
Jika x12 + y12 < r2 , maka titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran.
Jika x12 + y12 = r2 , maka titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran.
Jika x12 + y12 > r2 , maka titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran.
Contoh
Tentukan posisi titik A(3, 4) , B(–8, 6), C(8, –9) terhadap lingkaran x2 + y2 = 100.
Jawab:
A(3, 4)
x2 + y2 = 32+ 42 = 9 + 16 = 25
25 < 100
Jadi titik A(3, 4) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 = 25.
B(–8, 6)
x2 + y2 = (-8)2+ 62 = 64 + 36 = 100
100 = 100
Jadi B(–8, 6) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100.
C(8, 9)
x2 + y2 = 82+ 92 = 64 + 81 = 145
145 > 100
Jadi C(–8, 6) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 100.
Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Jika (x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 , maka titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran.
Jika (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 , maka titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran.
Jika (x1 – a)2 + (y1 – b)2 > r2 , maka titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran.
Contoh
Tentukanlah posisi titik A(5, 1)terhadap lingkaran dengan persamaan x2+ y2 – 4x + 6y – 12 = 0.
Jawab:
Persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 dapat diubah
sebagai berikut.
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
(x2 – 4x) + (y2 + 6y) – 12 = 0
Kedua ruas ditambah 13 (ditambah 4 kemudian ditambah 9 agar persamaan tersebut dapat disederhanakan)
(x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) – 12 = 13
(x – 2)2 + (y + 3)2 – 12 = 13
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
Koordinat titik A (4, 1) maka
(4 – 2)2+ (1 + 3)2 = 4 + 16 = 20
20 < 25
Jadi titik A (4, 1) terletak di dalam lingkaran.
Posisi Garis terhadap Suatu Lingkaran
Berdasarkan determinannya, ada 3 kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran:
1. D < 0,
Jika D< 0 maka garis terletak di luar lingkaran dan tidak memotong lingkaran. Jarak pusat lingkaran ke garis lebih besar dari jari-jari lingkaran (k > r).
2. D = 0
Jika D = 0, maka garis terletak pada lingkaran dan memotong lingkaran di satu titik. Jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).
3. D>0
Jika D > 0, maka garis akan melewati bagian dalam lingkaran dan memotong lingkaran di dua titik. Jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r).
Contoh:
Tentukan apakah garis x – y + 1 = 0 memotong lingkaran x2 + y2 = 49!
Jawab:
x – y + 3 = 0 ⇒ y = x + 3 ….. (1)
x2 + y2 = 49 ……(2)
subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2):
x2 + y2 = 49
x2 + (x + 3)2 = 49
x2 + x2 + 6x + 9 = 49
x2 + x2 + 6x + 9 – 49 = 0
2x2 + 6x – 40 = 0
x2 + 3x – 20 = 0
D = b2 – 4ac
= 32 – 4 ⋅ 1 (–20)
= 1 + 80
= 81 > 0
Karena D > 0, maka garis x – y + 3 memotong lingkaran x2 + y2 = 49 di dua titik yang berbeda.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
a. Persamaan Garis Singgung di Titik P (x1, y1) pada Lingkaran x2 + y2 = r2
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2+ y2 = r2 di (x1, y1) adalah
Contoh soal:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (3, –4).
Jawab:
Persamaan garis singgung di titik (3, -4) pada lingkaran x2 + y2 = 25 adalah:
x1x + y1y = r2
3x – 4y = 25
b. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Lingkaran
(x – a)2+ (y – b)2 = r2
Persamaan garis singgung pada Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
c. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x1, y1) pada Lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Maka persamaan garis singgung melalui Q(x1, y1) pada lingkaran x2+ y2 + 2Ax +
2By + C = 0 adalah
2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui titik diluar lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran. Jika melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya B(x2, y2) dan C(x3, y3), maka persamaan garis BC adalah x1x + y1y = r2disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A(x1, y1) disebut titik kutub.
Cara menentukan Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran adalag dengan membuat persamaan garis kutub dari titik A(x1, y1) terhadap lingkaran. Kemudian membuat persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub dan lingkaran.
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (3, 1) di luar lingkaran x2 + y2= 2
Jawab:
Persamaan garis kutub di (3, 1) adalah sebagai berikut:
x1x + y1y = r2
3x + 1y = 2
y = 2 - 3x
y = 2 – 3x
Persamaan garis y = 2 – 3x disubstitusikan dengan lingkaran x2 + y2= 16 diperoleh:
x2 + y2= 4
x2 + (2 – 3x)2= 16
x2 + 4 – 12x + 9x2 = 16
10x2 – 12x + 4 = 2
10x2 – 12x + 2 = 0
5x2 – 6x + 1 = 0
5x2 – 5x - x + 1 = 0
5x(x-1)-1(x-1)
(5x-1)(x-1)= 0
5x-1 = 0 maka x = 1/5
Atau
x-1 = 0 maka x = 1
Untuk x = 1/5,
maka y = 2 – 3x
= 2 – 3 ⋅ 1/5
= 2 – 3/5
= 7/5
Diperoleh titik singgung (1/5, 7/5).
Jadi, persamaan garis singgung melalui (1/5, 7/5) adalah 1/5x + 7/5y = 2 atau juga dapat dituliskan x + 7y = 10.
Untuk x = 1,
maka y = 2 – 3x
= 2 – 3.1
= 2 – 3
= –1
Diperoleh titik singgung (1, –1).
Jadi, persamaan garis singgung melalui (1, –1) adalah x – y = 2.
3. Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Diketahui
a. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
x2 + y2 = r2
Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran x2 + y2 = r adalah:
b. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Maka persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran (x – a)2+ (y – b)2 = r2 adalah:
c. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
x2 + y2+ 2Ax + 2By + C = 0
Untuk menentukan persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dapat dilakukan dengan cara mengubah dahulu ke bentuk (x – a)2 + (y – b)2= r2 sehingga persamaan garis singgungnya sama.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar