Sifat-sifat Dasar dan Operasi Pada Logaritma dan Contohnya

Definisi Logaritma

Logaritma dituliskan sebagai “log”, didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan a, b ∈ R, a > 0, a ≠ 1 , b > 0, dan c bilangan rasional,

^alog b = c jika dan hanya jika a^c = b.

Contoh:

3^x = 5 ⇔ x = ³log 5

5^z = 8 ⇔ z = ⁵log 8

Bilangan pokok (basis) 10 tidak ditulis, sehingga ¹⁰log a = log a.

Contoh:

10³ = 1000 maka log 1000 = 3

Logaritma dengan basis e (e adalah bilangan Euler, yaitu e ≈ 2,718…,), maka ^elog b ditulis ln b.

Sifat-sifat Logaritma

Sifat dasar

Misalkan a dan n bilangan real, a > 0 dan a ≠ 1, maka

1. ^alog a = 1

    ^alog a = x ⇔a^x = a sehingga x = 1 atau ^alog a = 1

2. ^alog 1 = 0

^alog 1 = x ⇔ a^x = 1. Karena a⁰ = 1, maka x = 0

3. ^alog aⁿ = n

 ^alog aⁿ = x ⇔ a^x= aⁿ sehingga x = n maka ^alog aⁿ = n

Sifat operasi logaritma

4.  Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, dan b > 0,

berlaku ^a log (b x c) = ^alog b + ^alog c

Pembuktian

^a log b = x  ⇔ b = a^x

^a log c = y  ⇔ c = a^y

Mengalikan b dengan c

b × c = a^x× a^y

b × c = a^x+y

^a log (b × c) = x + y

            Substitusi nilai x dan y

 ^a log (b × c ) = ^a log b + ^a log c

(terbukti)

5. Untuk a, b, dan c bilangan real dengan a > 0, a ≠ 1, dan b > 0, berlaku

Pembuktian

^a log b = x  ⇔ b = a^x

^a log c = y  ⇔ c = a^y

Membagi b dengan c

6.  Untuk a, b bilangan real dan n bilangan asli, a > 0, b > 0, a ≠ 1,

berlaku ^a log bⁿ = n ^alog b

Pembuktian

7. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, b ≠ 1, dan c ≠ 1, berlaku

Pembuktian

^a log b = x  ⇔ b = a^x

Ambil sembarang c bilangan real, c > 0, dan c ≠ 1 sedemikian sehingga:

Karena c bilangan real dan c ≠ 1 sembarang dengan ketentuan di atas dapat dipenuhi c = b sehingga diperoleh

8.  Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a ≠ 1 dan b ≠ 1, berlaku

^a log b x ^b log c = ^alog c

Pembuktian

^a log b = x  ⇔ b = a^x

^b log c = y  ⇔ c = b^y

9. Untuk a dan b bilangan real positif dengan a ≠ 1, berlaku

dengan m, n bilangan rasional dan m ≠ 0.

Pembuktian

10. Untuk a bilangan real positif a ≠ 1, berlaku

Pembuktian

Misalkan

 

Contoh soal:

Hitunglah

1.  ⁶ log 1

Jawab:

⁶ log 1 = 0

 

3. ³² log 8

Jawab:

 

4. ³ log 54 –  ³ log 2 

Jawab:

 

5. Sederhanakanlah log 64 − log 128 + log 32

Jawab:

log 64 – log 128 + log 32

= log 2⁶– log 2⁷ + log 2⁵

= 6 log 2−7 log 2+ 5 log 2

= 4 log 2

Nyatakan dalam a, b, c. (a = log 2, b= log 3, c = log 5)

6.  log 30

Jawab:

log 30

= log (2 x 15)

= log ( 2 x 3 x 5)

= log 2 + log 3 + log 5

= a + b +c

7. log 900

Jawab:

log 900

= log ( 2 x 450)

= log ( 2 x 2 x 225)

= log ( 2 x 2 x 3 x 75)

= log (2 x 2 x 3 x 3 x 25)

= log (2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5)

= log (2² x 3² x 5²)

= log 2² + log 3² + log 5²

= 2 log 2 + 2 log 3 + 2 log 5

= 2a + 2b + 2c

Tentang: Matematika

Share:

Artikel Terkait