Probabilitas Kejadian Bersyarat dan Kejadian Saling Bebas

Probabilitas Kejadian Bersyarat dan Kejadian Saling Bebas - Dalam hal kejadian majemuk, kita tahu bahwa kejadian seperti itu mungkin bersifat tidak saling bebas atau saling bebas.

Jika kita mempunyai 2 kejadian tidak saling bebas A dan B, dan kejadian B tergantung pada kejadian A, maka 'peluang kejadian B dengan syarat kejadian B’ dapat ditulis sebagai:

P (B | A)

Mari kita lihat rumus peluang bersyarat. Jika

A, B \subset Ω \land P (A) \neq 0

Maka peluang kejadian B dengan syarat kejadian B, yakni terjadinya kejadian B tergantung pada kejadian A adalah sama dengan

P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)}

dari apa yang kita peroleh yaitu:

P (A B) = P (B | A) P (A)

Dalam banyak kasus, akan kita temukan bahwa interseksi ditulis sebagai AB.

Kejadian A dan B dikatakan sebagai kejadian saling bebas jika:

P (A B) = P (A) P (B)

Dapat dilihat bahwa jika A dan B saling bebas, yakni tanpa syarat tertentu, maka P(B|A) menjadi P(B)..

Bagaimana jika kita mempunyai 3 kejadian tidak saling bebas? Jika demikian, peluangnya adalah:

\begin{array}{l} P (A B C) = P (A B | C) P (C) = \\ = P (A | (B | C)) P (B | C) P (C) = \\ = P (A | B C) P (B | C) P (C) \end{array}

Tetapi, jika kita mempunyai kejadian saling bebas, maka rumus terakhir di atas akan menjadi:

P (A B C) = P (A) P (B) P (C)

Mari kita perhatikan beberapa aturan mengenai peluang bersyarat dan independensi:

1) 1) Jika kita mempunyai gabungan 2 kejadian yang dipengaruhi oleh kejadian ketiga, maka peluang gabungan itu dihitung dengan cara berikut ini:

P (A \cup B | C) = P (A | C) + P (B | C) - P (A B | C)

1) Jika kita mencari peluang kejadian komplemen dari beberapa kejadian A, yang dipengaruhi oleh beberapa kejadian B lainnya, maka kita dapat menghitung peluangnya dengan cara berikut ini:

P (A' | B) = 1 - P (A | B)

Contoh:

Kita mempunyai suatu himpunan bilangan:

S = {112, 121, 211, 221}

Ai adalah kejadian munculnya angka 1 pada urutan pertama.

Maka kita mempunyai tiga kejadian seperti di bawah ini:

\begin{array}{l} A_{1} = {112, 121} \\ A_{2} = {112, 211} \\ A_{3} = {121, 211} \end{array}

Berapakah peluang masing-masing kejadian tersebut?

P (A_{1}) = P (A_{2}) = P (A_{3}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Berapakah peluang interseksi ketiganya?

\begin{array}{l} P (A_{1} A_{2}) = P ({112}) = \frac{1}{4} \\ P (A_{1} A_{3}) = P ({121}) = \frac{1}{4} \\ P (A_{2} A_{3}) = P ({211}) = \frac{1}{4} \end{array}

Dan selanjutnya, mari kita lihat hasil peluang masing-masing kejadian:

\begin{array}{l} P (A_{1}) P (A_{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \\ P (A_{1}) P (A_{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \\ P (A_{2}) P (A_{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{array}

Maka, hasilnya sebagai berikut:

\begin{array}{l} P (A_{1} A_{2}) = P (A_{1}) P (A_{2}) \\ P (A_{1} A_{3}) = P (A_{1}) P (A_{3}) \\ P (A_{2} A_{3}) = P (A_{2}) P (A_{3}) \end{array}

Jadi, kejadian-kejadian ini bersifat saling bebas secara berpasangan.

Bagaimana tentang kejadian A1A2A3?

Dari susunannya, kita ketahui bahwa kejadian-kejadian itu tidak mempunyai elemen bersama, yaitu :

A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} = \emptyset

Maka, peluang interseksi tersebut adalah 0.

P (A_{1} A_{2} A_{3}) = 0

Tetapi, kita ketahui pula bahwa:

\begin{array}{l} P (A_{1}) P (A_{2}) P (A_{3}) = \frac{1}{8} \\ P (A_{1} A_{2} A_{3}) \neq P (A_{1}) P (A_{2}) P (A_{3}) \end{array}

Sehingga kita simpulkan bahwa 3 kejadian tersebut seluruhnya tidak saling bebas.

Tentang: Matematika

Probabilitas Kejadian Bersyarat dan Kejadian Saling Bebas

Share:

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar