Peluang Kejadian Bersyarat

Peluang Kejadian Bersyarat - Mari kita mulai dengan contoh berikut ini:

Kereta api berangkat dari Zurich menuju Praha, dan singgah di Munich.

Peluang keberangkatan dari Zurich ke Munich adalah 0,8. Mari kita amati 2 kejadian berikut ini:

A – kereta biasanya tiba tepat waktu di Munich

B – kereta biasanya tiba tepat waktu di Praha

Jika kereta itu tiba tepat waktu di Munich, maka semakin besar peluangnya tiba tepat waktu di Praha. Dan jika kereta itu terlambat tiba di Munich, maka semakin kecil peluangnya untuk tiba tepat waktu di Praha.

Kita ketahui bahwa peluang kejadian A lebih besar dari 0 (yaitu 0,8 sehingga bukan kejadian yang tidak mungkin) dan kita ingin menghitung pengaruh kejadian A terhadap B.

Maka, untuk kejadian A dan B, notasinya adalah:

P (A) > 0

Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A (akan kita temui di berbagai tempat bahwa irisan ditulis sebagai AB) didefinisikan sebagai:

P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)}

Jika kita mempunyai lebih dari 2 kejadian, misalkan kita nyatakan n kejadian A1,…,An, maka peluang kejadian An dengan syarat kejadian A1,…An-1 didefinisikan sebagai:

P (A_{n} | A_{1} ... A_{n - 1}) = \frac{P (A_{1} ... A_{n})}{P (A_{1} ... A_{n - 1})}

Misalkan kita mempunyai kejadian-kejadian A1, …,An dan kita ingin mengetahui peluang dari semua kejadian tersebut.

Pertama, kita akan mengubah pernyataan P(A1…An), dan dengan demikian kita dapat menggunakan rumus di atas:

\begin{array}{l} P (A_{1} A_{2} ... A_{n}) = \\ = P (A_{1}) \frac{P (A_{1} A_{2})}{P (A_{1})} \cdot \cdot \cdot \frac{P (A_{1} ... A_{n - 1})}{P (A_{1} ... A_{n - 2})} P (A_{1} ... A_{n}) \end{array}

Misalkan sekarang kita mempunyai kejadian-kejadian A1,…,An yang bersifat disjunktif satu sama lain sehingga gabungannya sama dengan ruang sampel, dan semuanya mempunyai peluang yang tidak sama dengan 0. Sementara itu, D adalah sebarang kejadian dari ruang sampel. Mari kita tuliskan semuanya dan menghitung peluang kejadian D melalui kejadian-kejadian A1,…An dengan menggunakan peluang bersyarat:

\begin{array}{l} A_{1}, ..., A_{n}, D \subset Ω \\ (\forall i, j ∴ 1 \leq i, j \leq n) A_{i} \cap A_{j} = \emptyset \land P (A_{i}) > 0 \\ \cup_{i = 1}^{n} A_{i} = Ω \\ P (D) = P (A_{1}) P (D | A_{1}) + ... + P (A_{n}) P (D | A_{n}) \end{array}

Contoh:

Suatu mesin beroperasi selama 80% dari waktu normalnya. Peluang terjadinya kerusakan mesin tersebut selama waktu normal adalah 0,1 sedangkan di luar waktu normal, peluang kerusakannya adalah 0.7.

Berapakah peluang mesin tersebut akan rusak?

Hasil:

Misalkan D adalah kejadian rusaknya mesin, A1 adalah kejadian pengoperasian mesin dalam waktu normal, dan A2 adalah kejadian pengoperasian mesin di luar waktu normal. Maka, kita akan memperoleh;

\begin{array}{l} P (A_{1}) = 0.8 \\ P (A_{2}) = 0.2 \end{array}

Jika mesin tersebut rusak dalam waktu pengoperasian normal, kita akan memperoleh irisan kejadian D dan A1. Jika sebaliknya, maka kita memperoleh irisan D dan A2. Jadi, peluang terjadinya kerusakan pada mesin tersebut merupakan jumlah peluang dari kedua irisan tersebut (atau kita dapat menggunakan rumus di atas):

P (D) = P (D A 1) + P (D A 2) = = P (A 1) P (D | A 1) + P (A 2) P (D | A 2) = = 0.8 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.7 = 0.22

Tentang: Matematika

Peluang Kejadian Bersyarat

Share:

Artikel Terkait

Tidak ada komentar:

Posting Komentar