Contoh Soal Menentukan Persamaan Kurva

Contoh Soal Menentukan Persamaan Kurva - Misalkan turunan suatu fungsi F (x) adalah F ‘ (x) = f (x). Fungsi asal F (x) dapat ditentukan melalui proses pengintegralan sesuai definisi integral tak tentu.

∫F′(x)dx=F(x)+C$\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C$

Dalam hal ini, nilai konstanta C dapat ditentukan jika diketahui nilai tertentu dari variabel x dan F (x) dari ∫F′(x)dx$\int F^{\prime }(x)dx$. Nilai C diperoleh dengan cara mensubstitusikan kedua nilai variabel yang bersesuaian ke dalam hasil pengintegralan. Ini berarti, terdapat tak berhingga banyaknya fungsi yang memiliki diferensial F ‘ (x). Setiap fungsi tersebut hanya berbeda pada nilai C. Perhatikan gambar kurva di bawah ini dengan beberapa nilai C yang memenuhi suatu persamaan diferensial.

Misalkan dydx=2x$\frac{dy}{dx}=2x$ adalah gradien garis singgung kurva y = F (x) pada setiap titik (x, y). Dengan menggunakan notasi kalkulus diferensial untuk gradien diperoleh:

dydx=2x$\frac{dy}{dx}=2x$

⇔dy=2xdx$\iff dy=2xdx$

⇔∫dy=∫2xdx$\iff \int dy=\int 2xdx$

⇔y=x2+C$\iff y=x^2+C$, untuk setiap C ϵ Ɍ ... (1)

Kurva y = x2 + C yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki gradien garis singgung yang sama untuk nilai x yang sama. Dengan mengamati kembali gambar tersebut, tampak bahwa kurva y = x2 + C merupakan himpunan kurva berbentuk parabola dalam interval -3 ≤ x ≤ 3. Jika kurva itu melalui titik (-3, 10), maka dengan mensubstitusikan titik yang dilalui ke persamaan (1) diperoleh nilai C sebagai berikut.

y=x2+C$y=x^2+C$

⇔10=(−3)2+C$\iff 10={\left(-3\right)}^2+C$

⇔10=9+C$\iff 10=9+C$

⇔C=1$\iff C=1$

Ini berarti, persamaan kurvanya adalah y = x2 + 1.

Jika kurva (parabola) tersebut melalui titik (-3, 8), maka:

y=x2+C$y=x^2+C$

⇔8=(−3)2+C$\iff 8={\left(-3\right)}^2+C$

⇔8=9+C$\iff 8=9+C$

⇔C=−1$\iff C=-1$

Ini berarti, persamaan kurvanya nya adalah y = x2 – 1.

Jika kurva (parabola) tersebut melalui titik (2, 1), maka:

y=x2+C$y=x^2+C$

⇔1=(2)2+C$\iff 1={\left(2\right)}^2+C$

⇔1=4+C$\iff 1=4+C$

⇔C=−3$\iff C=-3$

Ini berarti, persamaan parabolanya adalah y = x2 – 3.

SOAL 1

Sebuah kurva y = f (x) melalui titik A (2, 0). Jika gradien garis singgung di titik A adalah dydx=2x–4$\frac{dy}{dx}=2x–4$, maka persamaan kurva tersebut adalah ….

SOAL 2

Suatu kurva melalui titik P (1, 3). Gradien garis singgung kurva tersebut di titik T (x, y) sama dengan dydx=2x−5$\frac{dy}{dx}=2x-5$. Persamaan kurva tersebut adalah ….

SOAL 3

Suatu kurva melalui titik B (2, 8). Gradien garis singgung kurva tersebut di titik P (x, y) sama dengan dydx=2x–1$\frac{dy}{dx}=2x–1$. Persamaan kurva yang memenuhi adalah ….

SOAL 4

Diketahui f ‘ (x) = 6x2 + 4. Persamaan f (x) yang melalui titik (1, 1) adalah ....

SOAL 5

Persamaan kurva yang melalui titik (2, 4) dengan gradien garis singgungnya dydx=6x2−4x+1$\frac{dy}{dx}=6x^2-4x+1$adalah ….

SOAL 6

Persamaan kurva yang melalui titik (1, -3) dengan persamaan gradien garis singgung dydx=6x2−4x+3$\frac{dy}{dx}=6x^2-4x+3$ adalah ….

SOAL 7

Gradien garis singgung kurva y = f (x) dinyatakan dengan dydx=3x(2−x)$\frac{dy}{dx}=3x(2-x)$. Persamaan kurva yang melalui titik (-1, 10) adalah …

SOAL 8

Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah 3x−−√$3\sqrt{x}$. Jika kurva ini melalui titik (4, 9), maka persamaan garis singgung kurva ini di titik berabsis 1 adalah ….

SOAL 9

Diketahui gradien garis singgung kurva y = f (x) di titik (a, b) adalah 2a3+6a2+6a+4$2a^3+6a^2+6a+4$. Jika kurva melalui titik (−1,−112)$\left(-1,-1\frac{1}{2}\right)$, maka persamaan kurva tersebut adalah ….

SOAL 10

Diketahui dydx$\frac{dy}{dx}$ berbanding terbalik dengan x2$x^2$.

Jika saat x = 2 diperoleh dydx=5$\frac{dy}{dx}=5$ dan y = 1, maka nilai y pada saat x = -2 adalah ….

Tentang: Matematika Ipa kelas 12

Share:

Artikel Terkait