Contoh Soal Penerapan Integral Tak Tentu dalam Kehidupan Sehari-Hari

Contoh Soal Penerapan Integral Tak Tentu dalam Kehidupan Sehari-Hari - Banyak permasalahan kehidupan sehari-hari yang penyelesaiannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan matematika. Sebagai contoh, gedung Petronas di Kuala Lumpur dan gedung-gedung pencakar langit di seluruh dunia dirancang dengan memperhatikan ketinggian lantai dan kekuatan anginnya. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Rancangan gedung tersebut dibuat dengan memanfaatkan penerapan prinsip integral. Integral atau antiturunan (antidiferensial) merupakan kebalikan dari turunan (diferensial). Pada materi turunan, kita mendiferensialkan fungsi asal, sedangkan pada integral, fungsi asal ditentukan dengan mengintegralkan fungsi hasil turunan yang diketahui.

Penerapan Integral Tak Tentu dalam Bidang Ekonomi

☑ Fungsi Biaya (Cost Function)

Sebagaimana yang telah disebutkan sebelumnya, fungsi biaya marginal atau Marginal Cost (MC) adalah turunan pertama dari fungsi biaya total atau Total Cost (TC). Ini berarti, kita harus mengintegralkan fungsi biaya marginal untuk memperoleh fungsi biaya totalnya. Jika C (Q) adalah fungsi biaya total dan MC (Q) adalah fungsi biaya marginal, maka secara matematis dapat ditulis:

C(Q)=∫MC(Q)dQ

Penerapan Integral Tak Tentu dalam Bidang Fisika

Penerapan konsep integral tak tentu dalam bidang Fisika di antaranya adalah menghitung jarak perpindahan suatu benda akibat adanya perlambatan atau percepatan dari suatu proses misalnya pengereman.

✎Contoh 3

Sebuah kereta api yang melaju kencang mendadak harus melakukan pengereman karena mendapat kabar bahwa ada sebuah mobil yang mogok di perlintasan. Saat proses pengereman, kereta api bergerak dengan kelajuan 158,4 km/jam dan mengalami perlambatan sebesar 5,5 m/detik2 . Tentukan jarak kereta api tersebut dari posisi pada saat pengereman dilakukan sampai berhenti.

Penyelesaian:

Diketahui: 
perlambatan kereta api = 5,5 m/detik2
kelajuan kereta api pada saat pengereman = 158,4 km/jam

Akan ditentukan jarak pengereman kereta api pada saat t satuan waktu.

Dalam Fisika, kamu telah mengetahui bahwa percepatan a dalam waktu t merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan v (t) dengan v (t) merupakan turunan pertama dari fungsi jarak s (t).

Ini berarti, diperlukan dua kali proses pengintegralan untuk mengubah fungsi percepatan a (t) ke jarak s (t).

Perlambatan merupakan percepatan yang bertanda negatif, sehingga diperoleh:

∫dv=∫−5,5dt$\int dv=\int -5,5dt$

⇔dvdt=−5,5$\iff \frac{dv}{dt}=-5,5$

⇔dv=−5,5dt$\iff dv=-5,5dt$

∫dv=∫−5,5dt$\int dv=\int -5,5dt$

⇔v(t)=−5,5t+C1$\iff v\left(t\right)=-5,5t+C_1$ ... (1)

Untuk menentukan nilai C1 , gunakan nilai v (t) saat t = 0.

v (t) saat t = 0 adalah kelajuan kereta api pada saat pengereman.

Pada saat t = 0, kelajuan kereta api adalah:

v(t=0)=158,4km/jam$v_{\left(t=0\right)}=158,4\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{m}$

⇔v(t=0)=158,4×1000m3600detik$\iff v_{\left(t=0\right)}=158,4\times \frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{k}}$

⇔v(t=0)=44m/detik$\iff v_{\left(t=0\right)}=44\mathrm{m}/\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{k}$

Substitusi nilai v(t=0)$v_{\left(t=0\right)}$ ke persamaan (1), sehingga diperoleh:

v(t)=−5,5t+C1$v(t)=-5,5t+C_1$

⇔v(t=0)=−5,5(0)+C1$\iff v_{(t=0)}=-5,5(0)+C_1$

⇔44=0+C1$\iff 44=0+C_1$

⇔C1=44$\iff C_1=44$

Substitusi nilai C1=44$C_1=44$ ke dalam persamaan (1), sehingga diperoleh persamaan fungsi kecepatan v (t) sebagai berikut.

v(t)=−5,5t+44$v(t)=-5,5t+44$ ... (2)

Selanjutnya, dengan mengintegralkan fungsi v (t) diperoleh rumus umum s (t) sebagai berikut.

v(t)=−5,5t+44$v\left(t\right)=-5,5t+44$

⇔dsdt=−5,5t+44$\iff \frac{ds}{dt}=-5,5t+44$

⇔ds=(−5,5t+44)dt$\iff ds=\left(-5,5t+44\right)dt$

⇔∫ds=∫(−5,5t+44)dt$\iff \int ds=\int \left(-5,5t+44\right)dt$

⇔s(t)=∫(−5,5t+44)dt$\iff s\left(t\right)=\int \left(-5,5t+44\right)dt$

⇔s(t)=−5,52t2+44t+C2$\iff s\left(t\right)=\frac{-5,5}{2}{t}^2+44t+C_2$ ... (3)

Jarak kereta api dihitung dari posisi pada saat pengereman dilakukan.

Ini berarti, s(t=0)=0$s_{\left(t=0\right)}=0$, sehingga konstanta C2 dapat ditentukan sebagai berikut.

s(t)−5,52t2+44t+C2$s(t)\frac{-5,5}{2}{t}^2+44t+C_2$

⇔s(t=0)=−5,52(0)2+44(0)+C2$\iff s_{(t=0)}=\frac{-5,5}{2}(0{)}^2+44(0)+C_2$

⇔0=0+0+C2$\iff 0=0+0+C_2$

⇔C2=0$\iff C_2=0$

Substitusi C2=0$C_2=0$ ke persamaan (3), sehingga diperoleh:

s(t)=−5,52t2+44t$s(t)=\frac{-5,5}{2}{t}^2+44t$ ... (4)

Pada saat kereta api berhenti artinya kecepatan kereta api v (t) = 0, sehingga nilai t diperoleh dengan mensubstitusikan v (t) = 0 ke persamaan (2).

v(t)=−5,5t+44$v(t)=-5,5t+44$

⇔0=−5,5t+44$\iff 0=-5,5t+44$

⇔5,5t=44$\iff 5,5t=44$

⇔t=445,5$\iff t=\frac{44}{5,5}$

⇔t=8detik$\iff t=8\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{k}$

Substitusi nilai t = 8 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:

s(t)=−5,52t2+44t$s(t)=\frac{-5,5}{2}{t}^2+44t$

⇔s(t=8)=−5,52(8)2+44(8)$\iff s_{(t=8)}=\frac{-5,5}{2}(8{)}^2+44(8)$

⇔s(t=8)=−176+352$\iff s_{(t=8)}=-176+352$

⇔s(t=8)=176meter$\iff s_{(t=8)}=176\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}$

Jadi, jarak kereta api tersebut dari posisi pada saat pengereman dilakukan sampai berhenti adalah 176 m.

SOAL 1

Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC(Q)=4Q2−3Q+5$MC\left(Q\right)=4Q^2-3Q+5$ dengan Q sama dengan biaya unit. Jika biaya tetap adalah k = 3 dengan merupakan konstanta integral, maka persamaan biaya total C (Q) adalah ….

SOAL 2

Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang memenuhi persamaan a (t) = 2t - 1 dengan a dalam m/s2 dan t dalam detik. Jika kecepatan awal benda v = 5 m/s, maka persamaan kecepatan benda tersebut pada saat t detik adalah ….

SOAL 3

Biaya marginal suatu perusahaan otomotif dalam memproduksi kendaraan ditunjukkan oleh MC (x) = 3x2 – 6x + 4 dengan x adalah jumlah kendaraan (dalam ribuan) dan adalah biaya total (dalam jutaan dolar). Jika diketahui biaya tetapnya (biaya untuk memproduksi nol kendaraan) adalah 1 juta dolar, maka persamaaan biaya totalnya adalah ….

SOAL 4

Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan kecepatan v yang memenuhi persamaan v (t) = t2- t + 5 dengan v dalam m/s dan t dalam detik. Jika posisi benda pada saat t = 6 detik adalah s = 92 m, maka persamaan posisi benda tersebut saat t detik adalah ….

SOAL 5

Biaya marginal dalam memproduksi x barang per bulan dinyatakan oleh MC (x) = 400 + 2x. Jika biaya total bulanan pada saat x = 100 adalah $60.000, maka persamaaan fungsi biaya totalnya adalah ….

SOAL 6

Diketahui kecepatan v (t) suatu pesawat udara saat menyentuh tanah adalah 
v (t) = 180 – 20t dengan v dalam kaki/detik dan t dalam detik. Panjang lintasan pesawat dari saat menyentuh tanah hingga berhenti adalah ....

SOAL 7

Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v (t) = 6 – 4t dengan v dalam meter/detik dan t dalam detik. Jika s adalah panjang lintasan dalam meter dan nilai s = 0 untuk t = 0 detik, maka panjang lintasan pada saat t = 2 detik adalah ...

SOAL 8

Rem sebuah mobil dapat menghasilkan perlambatan konstan sebesar kaki/detik2 . Jika saat pengereman mobil bergerak dengan kecepatan mil/jam, maka jarak terpendek mobil tersebut dari saat pengereman hingga berhenti adalah ....

SOAL 9

Ketangkasan dari seorang buruh perusahaan dinyatakan sebagai fungsi E (t) (dalam %) dengan t dalam jam. Misalnya, ketangkasan seorang buruh pada suatu saat adalah 75% berarti, buruh itu menggunakan 75 persen dari seluruh kemampuannya. Jika kecepatan perubahan dari E (t) sejak ia mulai bekerja adalah (30 – 4t) dan ketangkasan buruh adalah 84% setelah 3 jam bekerja, maka tingkat ketangkasan buruh tersebut sesudah bekerja 4 jam adalah ... %.

SOAL 10

Andi mengalami luka sobek yang cukup lebar pada kulitnya. Setelah berobat ke dokter, luka tersebut mengalami proses penyembuhan dengan laju berkurangnya luas luka dAdt=−4t√3mm2/hari$\frac{dA}{dt}=-4\sqrt[3]{t}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}$ dengan t adalah waktu (dalam hari) sejak luka sobek dialami. Jika luas awal luka sobek adalah 48 mm2 , maka waktu yang diperlukan agar luka tersebut sembuh total adalah ... hari.

Tentang: Matematika Ipa kelas 12

Share:

Artikel Terkait