Contoh Soal Theorema Faktor

Contoh Soal Theorema Faktor Teorema Faktor menyatakan bahwa jika p(x) adalah sebuah polinomial dan a adalah sebuah bilangan maka (x-a) adalah sebuah faktor jika dan hanya jika p(a)=0.

Bukti: Hal ini jelas sekali berasal dari Teorema Sisa. Teorema sisa menyatakan jika p(x) adalah sebuah polinomial dan x-a adalah sebuah faktor dari p(x) maka sisanya ketika p(x) dibagi dengan x-a adalah p(a).
(Ini adalah sebuah pernyataan jika dan hanya jika kita perlu membuktikannya dalam kedua arah.)

(=>) Jika x-a adalah sebuah faktor dari p(x) maka kita tahu bahwa sisanya adalah 0. Tapi dari teorema sisa kita tahu bahwa p(a)=sisa maka p(a)=0.

(<=) Jika p(a)=0, kita akan melihat pada pembagian alogaritma untuk p(x). Yaitu, p(x)=d(x)q(x)+r(x), dimana d(x)=x-a karena kita ingin mengetahui tentang pembagian dengan x-a. Maka, p(x)=(x-a)q(x)+r. Tapi p(a)=0 menunjukkan bahwa r=0.
Sehingga, p(x)=(x-a)q(x), atau p(x) yang dapat dibagi dengan x-a. 
Oleh karena itu, x-a adalah sebuah faktor dari p(x).

Contoh 1: Berapa faktor dari p(x)=x3-2x2-5x+6?
p(1)=(1)3-2(1)2-5(1)+6=0
p(3)=(3)3-2(3)2-5(3)+6=0
p(-2)= (-2)3-2(-2)2-5(-2)+6=0
Karena ini adalah polinomial derajat ketiga kita tahu bahwa paling banyak hanya ada 3 akar real. 
Juga, teorema akar rasional dapat sangat berguna untuk persoalan-persoalan ini. Teorema akar rasional menyatakan bahwa akar-akar rasional yang mungkin ada adalah 
+/-(p/q) dimana p adalah faktor dari koefisien di depan suku tertinggi) dan dimana q adalah faktor dari koefisien di depan konstanta.

Contoh 2: Berapa nilai dari k untuk p(x)= x2+kx-2 dimana (x+1) adalah sebuah faktor?  
Karena x+1 adalah sebuah faktor, kita tahu bahwa p(-1)=0 dari teorema faktor. Maka,
p(-1)=(-1)2+k(-1)-2=0. Penyelesaian untuk k kita mendapatkan,
k=-1. 


Contoh Soal Theorema Faktor


Jika x − 2  adalah sebuah faktor dari  p(x) = x3 − 2x2 + kx − 3, maka nilai dari k adalah:
polinomial manakah yang mempunyai faktor x - 1?

Seorang siswa menyelesaian  beberapa polinomial dan perlu menemukan g(x) dengan faktor f(x). 
Jika f(x) = x3 - 3x2 + 4x - 4 maka g(x) adalah: 

Produksi sebuah produk dalam pusat perakitan adalah f(x) = 
x³ + 2ax + b. If x + 1 dan x - 1 adalah faktor dari f(x) maka nilai a dan b adalah:
Jika 2x - 1 adalah faktor dari f(x) = 4x² + kx + 1, maka nilai dari k adalah
Sebuah polinomial p(x) = x2 + 5x + 6 dibagi oleh sebuah faktor linear, menghasilkan sisa nol. 
Jadi faktor linearnya adalah:

Populasi dari spesies burung yang terancam punah bisa diumpamakan dengan model fungsi
f(x) = x3 - 5x2 + 6x - 8
dimana f(x) mewakili populasi burung tersebut dan x menunjukkan jumlah tahun. 
Burungnya dianggap terancam punah di tahun 2012. Temukan di tahun berapakah spesiesnya punah jika model fungsinya akurat dan tidak ada perlindungan dilakukan.

Diketahui -2 dan ⅓ adalah pembuat nol dari f(x) = 3x4 + 5x3 + x2 + 5x - 2. Fungsi f dalam bentuk perkalian faktor adalah ....
Seorang peneliti mengamati kecepatan reaksi kimia. Kecepatannya tergantung pada katalis x. Dia membuat model kecepatan dalam persamaan kubik dengan variabel x: R(x) =  x3 - 6x2 + 3x + 10. Dia ingin menemukan jumlah x yang akan menghentikan reaksinya. Jumlah yang dibutuhkan adalah:

Polinomial p(x) mempunyai sisa 2 ketika dibagi dengan x - 1 dan sisa 3 ketika dibagi dengan 
x - 2. Sisa ketika p(x) dibagi dengan (x - 1)(x - 2) adalah ax + b, 
. p(x) dapat ditulis dengan p(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b. 
Misal p(x) adalah sebuah polinomial kubik dengan koefisien x3  1, dan -1 adalah solusi dari persamaan p(x) = 0, maka p(x) adalah:
Tentang:

Share:


Artikel Terkait

1 komentar: