Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x adalah suatu persamaan berbentuk ax2+ bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0.
dengan:
x adalah variabel atau peubah
a adalah koefisien x2
b adalah koefisien x
c adalah konstanta persamaan
Cara Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara (aturan) menentukan akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. Cara tersebut antara lain, cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC. Ketiga aturan ini memiliki kelebihan dan kelemahan terkait dengan efisiensi waktu yang digunakan untuk menentukan akar-akar sebuah persamaan kuadrat.
1. Cara Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran
untuk a = 1
Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0 , untuk a=1 maka
x2 + bx + c = 0
Cermati bentuk persamaan berikut (x + m)(x + n) = 0
(x2 + nx) + (mx + m × n) = 0
x2 + (m + n)x + m × n = 0
Berdasarkan kedua persamaan diperoleh
x2 + bx + c = x2 + (m + n)x + m × n = 0
Menggunakan sifat persamaan, maka diperoleh m + n = b dan m × n = c.
Jadi ax2 + bx + c = (x + m)(x + n) = 0, untuk a = 1, m + n = b dan m × n = c.
Sehingga nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ax2+ bx + c = (x + m)(x + n) = 0 adalah x = -m atau x = -n.
untuk a < 1 atau a > 1
Bentuk umum persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan riel dan a ≠ 0.
a ≠ 0 ⇒ 1/a ≠ 0
ax2 + bx + c = 1/a (a2x2 + abx + ac) = 0
Sekarang perhatikan bentuk berikut
((ax + m)(ax + n)) = 0
1/a ((ax + n)ax + m(ax + n)) = 0
1/a ((a2x2+ anx) + (amx + m × n)) = 0
1/a (a2x2 + a(m + n)x + m × n) = 0.......(
Berdasarkan kedua persamaan di atas diperoleh,
(a2x2 + abx + ac) = (a2x2+ a(m + n)x + m × n) = 0
Menggunakan sifat persamaan maka diperoleh m + n = b dan m × n = ac.
Jadi ax2+ bx + c = 1/a (ax + m)(ax + n) = 0,
untuk a ≠ 1, m + n = b dan m × n = ac
Nilai x yang memenuhi persamaan ax2+ bx + c = (ax + m)(ax + n) = 0 adalah
x1 = - (m/a) atau x2 = - (n/a) .
Contoh:
Untuk lebih jelasnya cermati contoh pemfaktoran persamaan kuadrat berikut.
1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 6 = 0 dengan cara pemfaktoran.
Faktor dari x2 adalah x and x.
Tulis keduanya dalam tanda kurung seperti berikut: (x )(x )
Selanjutnya tentukan faktor dari -6.
Faktor dari -6 yaitu
+6 dan -1 atau
-6 dan +1 atau
+3 dan -2 atau
-3 dan +2
Diantara faktor-faktor tersebut pilih pasangan yang jika keduanya jumlahkan sama dengan koefisien x (ingat bukan koefisien x2tetapi x dengan pangkat 1)pada persamaan kuadrat. Sekarang kita lihat kembali persamaan kuadrat di atas yaitu x2 + x -6 = 0 , terlihat bahwa koefisien x adalah +1. Jadi kita pilih pasangan yang jika keduanya dijumlahkan akan menghasilkan nilai +1.
Sekarang kita cek manakah yang menghasilkan nilai +1
+6 dan -1 sama dengan +5
-6 dan +1 sama dengan -5
+3 dan -2 sama dengan +1
-3 dan +2 sama dengan -1
Berarti faktornya adalah +3 dan -2, Selanjutnya gabungkan masing-masing ke faktor dari x2 yang telah kita tuliskan di atas. Hasilnya akan seperti berikut (x+3)(x-2). Maka
x2 + x – 6 = 0
(x+3)(x-2)= 0
Agar persamaan diatas terpenuhi salah satu faktor harus bernilai nol
(x+3)= 0 , maka x = -3
Atau
(x-2)= 0 , maka x = 2
Jadi dapat disimpulkan akar-akar dari x2 + x -6 = 0 adalah x = -3 dan x = 2.
2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3x2 −11x −4 = 0 dengan cara pemfaktoran.
Berikut salah satu cara cepat penyelesaiannya
Faktor dari 3x2 adalah 3x and x.
Tulis keduanya dalam tanda kurung seperti berikut: (3x )(x )
Selanjutnya tentukan faktor dari -4.
Faktor dari -4 yaitu
-4 dan +1 atau
+4 dan -1 atau
-2 dan 2
Dari faktor-faktor diatas yang memenuhi persamaan adalah
(3x + 1 )(x - 4 )
Atau
3x2−11x −4 =0
Cari nilai ac, yaitu 3 x ( -4) = -12
Berapa dua angka yang jika jumlahkan sama dengan -11 jika dikalikan sama dengan -12, yaitu -12 dan +1. Persamaan di atas dapat dituliskan
3x2- 12x + 1x - 4 =0
3x2- 12x dapat dituliskan kembali menjadi 3x(x-4)
1x - 4 dapat dituliskan kembali menjadi +1(x-4)
Maka persamaan diatas dapat ditulis menjadi
3x(x-4)+1(x-4) = 0
(3x+1)(x-4) =0
Sehingga,
3x +1 = 0 maka 3x =-1 , x = -1/3
atau
x – 4 = 0 maka x = 4
2. Cara mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna
bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,
dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = 1,
Rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna:
Contoh:
1. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – x – 6 = 0 !
Jadi akar-akar persamaan kuadrat x2 – x – 6 = 0 adalah x1 = 3 dan x2 = –2.
2. Carilah akar-akar persamaan 2x2 +5x = 3 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna
Anternatif penyelesaian
-susun persaman di atas ke dalam satu ruas dan sedemikian hingga koefisien x kuadrat positif
2x2 +5x – 3 = 0
-jadikan koefisien x2 bernilai 1. Persamaan tersebut harus dibagi 2
-Buat x2 dan x berada dalam satu ruas dan konstanta diruas lain
-Tambahkan pada kedua ruas, kuadrat dari setengah koefisien x.
3. Menggunakan Rumus ABC
Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0, adalah
Contoh:
Tentukan akar-akar dari persamaan 3x2 −11x −4 = 0 menggunakan rumus abc!
bandingkan 3x2 −11x −4 = 0 dengan bentuk umum persamaan kuadrat ax2 +bx +c = 0
didapat
a = 3,
b=−11
c =−4
Sehingga:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar